f/11=g/33text{siendo}f+g=40 megoldása

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Megoldás a(z) f, g változóra

$$f=10$$

$$g=30$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 11,33 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 33.

$$3f=g$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{g}{3} értéket f helyére a másik, f+g=40 egyenletben.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Összeadjuk a következőket: \frac{g}{3} és g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{4}{3}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$g=30$$

A(z) f=\frac{1}{3}g egyenletben behelyettesítjük g helyére a következőt: 30. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) f változóra.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és 30.

$$f=10$$

A rendszer megoldva.

$$f=10,g=30$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 11,33 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 33.

$$3f=g$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: g.

$$3f-g=0$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) f és g elemeket.

$$f=10,g=30$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 11,33 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 33.

$$3f=g$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: g.

$$3f-g=0$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$3f-g=0,f+g=40$$

3f és f egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Egyszerűsítünk.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

3f+3g=120 kivonása a következőből: 3f-g=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Összeadjuk a következőket: 3f és -3f. 3f és -3f kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-g-3g=-120$$

Összeadjuk a következőket: -g és -3g.

$$-4g=-120$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$g=30$$

A(z) f+g=40 egyenletben behelyettesítjük g helyére a következőt: 30. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) f változóra.

$$f+30=40$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30.

$$f=10$$

A rendszer megoldva.

$$f=10,g=30$$