9/4m^2-5m+1>0 megoldása

$$\frac { 9 } { 4 } m ^ { 2 } - 5 m + 1 > 0$$

Megoldás a(z) m változóra

$$m\in \left(-\infty,\frac{2}{9}\right)\cup \left(2,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$\frac{9}{4}m^{2}-5m+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) \frac{9}{4} értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times \frac{9}{4}\times 1}}{2\times \frac{9}{4}}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$m=\frac{5±4}{\frac{9}{2}}$$

Megoldjuk az egyenletet (m=\frac{5±4}{\frac{9}{2}}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$m=2 m=\frac{2}{9}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\frac{9}{4}\left(m-2\right)\left(m-\frac{2}{9}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (m-2 és m-\frac{2}{9}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy m-2 és m-\frac{2}{9} eredménye egyaránt negatív.

$$m-2<0 m-\frac{2}{9}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás m<\frac{2}{9}.

$$m<\frac{2}{9}$$

Tegyük fel, hogy m-2 és m-\frac{2}{9} eredménye egyaránt pozitív.

$$m-\frac{2}{9}>0 m-2>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás m>2.

$$m>2$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$m<\frac{2}{9}\text{; }m>2$$