75/x=75/x+15+1/4 megoldása

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-75$$

$$x=60$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -15,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+15,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4x\left(x+15\right).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x+60 és 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 75. Az eredmény 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és \frac{1}{4}. Az eredmény 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Összevonjuk a következőket: 300x és 15x. Az eredmény 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 315x.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 300x és -315x. Az eredmény -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+4500 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -15.

$$a=60 b=-75$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}-15x+4500) \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 75 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -x+60 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához -x+60=0 és x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -15,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+15,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4x\left(x+15\right).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x+60 és 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 75. Az eredmény 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és \frac{1}{4}. Az eredmény 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Összevonjuk a következőket: 300x és 15x. Az eredmény 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 315x.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 300x és -315x. Az eredmény -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) 4500 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±135}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

150 elosztása a következővel: -2.

$$x=-75$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±135}{-2}). ± előjele negatív. 135 kivonása a következőből: 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-120 elosztása a következővel: -2.

$$x=60$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-75 x=60$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -15,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+15,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4x\left(x+15\right).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x+60 és 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 75. Az eredmény 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és \frac{1}{4}. Az eredmény 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Összevonjuk a következőket: 300x és 15x. Az eredmény 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 315x.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 300x és -315x. Az eredmény -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4500. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-15 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-4500 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Elosztjuk a(z) 15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 4500 és \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

A(z) x^{2}+15x+\frac{225}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{2}.

$$x=60 x=-75$$