frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4 megoldása

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k=-1$$

$$k=1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk \left(3k^{2}+1\right)^{2},4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(k^{2}+1\right)^{2}).

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6 és k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3k^{2}-1\right)^{2}).

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

9k^{4}-6k^{2}+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 6k^{4} és -9k^{4}. Az eredmény -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 12k^{2} és 6k^{2}. Az eredmény 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 6 értéket. Az eredmény 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3k^{2}+1\right)^{2}).

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 45k^{4}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Összevonjuk a következőket: -12k^{4} és -45k^{4}. Az eredmény -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30k^{2}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Összevonjuk a következőket: 72k^{2} és -30k^{2}. Az eredmény 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 20 értéket. Az eredmény 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

t behelyettesítése k^{2} helyére.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) -57 értéket a-ba, a(z) 42 értéket b-be és a(z) 15 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-42±72}{-114}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

k=t^{2} mivel a megoldások az k=±\sqrt{t} pozitív t kiértékelését használják.

$$k=1 k=-1$$