57/16t^2-85/16t=-250 megoldása

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0,745614035+8,343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0,745614035-8,343829954i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 250.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -250 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

-250 kivonása a következőből: 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{57}{16} értéket a-ba, a(z) -\frac{85}{16} értéket b-be és a(z) 250 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

A(z) -\frac{85}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{57}{16}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{57}{4} és 250.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

\frac{7225}{256} és -\frac{7125}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -\frac{904775}{256}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-\frac{85}{16} ellentettje \frac{85}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{57}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: \frac{85}{16} és \frac{5i\sqrt{36191}}{16}.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

\frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} elosztása a következővel: \frac{57}{8}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} értéket megszorozzuk a(z) \frac{57}{8} reciprokával.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}). ± előjele negatív. \frac{5i\sqrt{36191}}{16} kivonása a következőből: \frac{85}{16}.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

\frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} elosztása a következővel: \frac{57}{8}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} értéket megszorozzuk a(z) \frac{57}{8} reciprokával.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{57}{16}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

A(z) \frac{57}{16} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{57}{16} értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

-\frac{85}{16} elosztása a következővel: \frac{57}{16}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{85}{16} értéket megszorozzuk a(z) \frac{57}{16} reciprokával.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

-250 elosztása a következővel: \frac{57}{16}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -250 értéket megszorozzuk a(z) \frac{57}{16} reciprokával.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{85}{57} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{85}{114}. Ezután hozzáadjuk -\frac{85}{114} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{85}{114} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

-\frac{4000}{57} és \frac{7225}{12996} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

Tényezőkre t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{85}{114}.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$