5x/x^2-4x-21-3/x-7+4/x+3 megoldása

$$\frac { 5 x } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 } - \frac { 3 } { x - 7 } + \frac { 4 } { x + 3 }$$

Kiértékelés

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-4x-21 kifejezést.

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(x-7\right)\left(x+3\right) és x-7 legkisebb közös többszöröse \left(x-7\right)\left(x+3\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{x-7} és \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Mivel \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} és \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Elvégezzük a képletben (5x-3\left(x+3\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Összevonjuk a kifejezésben (5x-3x-9) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(x-7\right)\left(x+3\right) és x+3 legkisebb közös többszöröse \left(x-7\right)\left(x+3\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{4}{x+3} és \frac{x-7}{x-7}.

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Mivel \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} és \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Elvégezzük a képletben (2x-9+4\left(x-7\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (2x-9+4x-28) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Kifejtjük a következőt: \left(x-7\right)\left(x+3\right).

$$\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21}$$

Differenciálás x szerint

$$\frac{2\left(-3x^{2}+37x-137\right)}{\left(\left(x-7\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-4x-21 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(x-7\right)\left(x+3\right) és x-7 legkisebb közös többszöröse \left(x-7\right)\left(x+3\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{x-7} és \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Mivel \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} és \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Elvégezzük a képletben (5x-3\left(x+3\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Összevonjuk a kifejezésben (5x-3x-9) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(x-7\right)\left(x+3\right) és x+3 legkisebb közös többszöröse \left(x-7\right)\left(x+3\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{4}{x+3} és \frac{x-7}{x-7}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Mivel \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} és \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Elvégezzük a képletben (2x-9+4\left(x-7\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (2x-9+4x-28) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-7 és x+3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(6x^{1}-37)-\left(6x^{1}-37\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4x^{1}-21)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{1-1}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{2-1}-4x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{2}-4x^{1}-21 és 6x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 6x^{1}-37 és 2x^{1}-4x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}\times 2x^{1}+6x^{1}\left(-4\right)x^{0}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{6x^{2}-4\times 6x^{1}-21\times 6x^{0}-\left(6\times 2x^{1+1}+6\left(-4\right)x^{1}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{6x^{2}-24x^{1}-126x^{0}-\left(12x^{2}-24x^{1}-74x^{1}+148x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{-6x^{2}+74x^{1}-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}+74x-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}+74x-274}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$