5x+9/8x-1-5x+1/3x-1=1 megoldása

$$\frac { 5 x + 9 } { 8 x - 1 } - \frac { 5 x + 1 } { 3 x - 1 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}\approx 0,306122449-0,29993752i$$

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}\approx 0,306122449+0,29993752i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: \frac{1}{8},\frac{1}{3}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 8x-1,3x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(3x-1\right)\left(8x-1\right).

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-1 és 5x+9), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (8x-1 és 5x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

40x^{2}+3x-1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 15x^{2} és -40x^{2}. Az eredmény -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 22x és -3x. Az eredmény 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Összeadjuk a következőket: -9 és 1. Az eredmény -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-1 és 8x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 24x^{2}.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Összevonjuk a következőket: -25x^{2} és -24x^{2}. Az eredmény -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 11x.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Összevonjuk a következőket: 19x és 11x. Az eredmény 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$-49x^{2}+30x-8-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -8 értéket. Az eredmény -9.

$$-49x^{2}+30x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -49 értéket a-ba, a(z) 30 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+196\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 196 és -9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1764}}{2\left(-49\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -1764.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-864}}{2\left(-49\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -864.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{2\left(-49\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -49.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -30 és 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-30+12\sqrt{6}i}{-98}$$

-30+12i\sqrt{6} elosztása a következővel: -98.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}). ± előjele negatív. 12i\sqrt{6} kivonása a következőből: -30.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-30}{-98}$$

-30-12i\sqrt{6} elosztása a következővel: -98.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49} x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: \frac{1}{8},\frac{1}{3}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 8x-1,3x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(3x-1\right)\left(8x-1\right).

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-1 és 5x+9), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (8x-1 és 5x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

40x^{2}+3x-1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 15x^{2} és -40x^{2}. Az eredmény -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 22x és -3x. Az eredmény 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Összeadjuk a következőket: -9 és 1. Az eredmény -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-1 és 8x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 24x^{2}.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Összevonjuk a következőket: -25x^{2} és -24x^{2}. Az eredmény -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 11x.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Összevonjuk a következőket: 19x és 11x. Az eredmény 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8.

$$-49x^{2}+30x=1+8$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 8. Az eredmény 9.

$$-49x^{2}+30x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -49.

$$\frac{-49x^{2}+30x}{-49}=\frac{9}{-49}$$

A(z) -49 értékkel való osztás eltünteti a(z) -49 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{30}{-49}x=\frac{9}{-49}$$

30 elosztása a következővel: -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=\frac{9}{-49}$$

9 elosztása a következővel: -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=-\frac{9}{49}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{30}{49} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{49}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{49} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{9}{49}+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{49} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{9}{49}+\frac{225}{2401}$$

-\frac{9}{49} és \frac{225}{2401} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{216}{2401}$$

A(z) x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{216}{2401}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{216}{2401}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{49}=\frac{6\sqrt{6}i}{49} x-\frac{15}{49}=-\frac{6\sqrt{6}i}{49}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{49}.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49} x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$