5-2x/3+4<3x-5/4*3x/2 megoldása

$$\frac { 5 - 2 x } { 3 } + 4 < \frac { 3 x - 5 } { 4 } \cdot \frac { 3 x } { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{15529}+29}{54},\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,4,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 12. A(z) 12 pozitív, ezért az egyenlőtlenség iránya nem változik.

$$4\left(5-2x\right)+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 5-2x.

$$20-8x+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 20 és 48. Az eredmény 68.

$$68-8x<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Kifejezzük a hányadost (3\times \frac{3x}{2}) egyetlen törtként.

$$68-8x<\frac{3\times 3x}{2}\left(3x-5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: \frac{3\times 3x}{2} és 3x-5.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 3^{2}}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 3 érték 2. hatványát. Az eredmény 9.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Kifejezzük a hányadost (3\times \frac{x\times 9}{2}) egyetlen törtként.

$$68-8x<\frac{3x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Kifejezzük a hányadost (\frac{3x\times 9}{2}x) egyetlen törtként.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 3. Az eredmény 9.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{9x}{2}$$

Kifejezzük a hányadost (-5\times \frac{9x}{2}) egyetlen törtként.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}+\frac{-5\times 9x}{2}$$

Mivel \frac{3x\times 9x}{2} és \frac{-5\times 9x}{2} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x-5\times 9x}{2}$$

Elvégezzük a képletben (3x\times 9x-5\times 9x) szereplő szorzásokat.

$$68-8x<\frac{27x^{2}-45x}{2}$$

Elosztjuk a kifejezés (27x^{2}-45x) minden tagját a(z) 2 értékkel. Az eredmény \frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x.

$$68-8x<\frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{27}{2}x^{2}.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}<-\frac{45}{2}x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{45}{2}x.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}+\frac{45}{2}x<0$$

Összevonjuk a következőket: -8x és \frac{45}{2}x. Az eredmény \frac{29}{2}x.

$$68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2}<0$$

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2}) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. A(z) -1 negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}>0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) \frac{27}{2} értéket a-ba, a(z) -\frac{29}{2} értéket b-be és a(z) -68 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-\frac{29}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}-4\times \frac{27}{2}\left(-68\right)}}{2\times \frac{27}{2}}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{15529}+29}{54} x=\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\frac{27}{2}\left(x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}\right)\left(x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} és x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} és x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} eredménye egyaránt negatív.

$$x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}<0 x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} és x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} eredménye egyaránt pozitív.

$$x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}>0 x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}.

$$x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\text{; }x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$