5/x-3-x-1/x-2=7 megoldása

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 2,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-3,x-2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-3 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x^{2}-4x+3 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 4x. Az eredmény 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) -10 értéket. Az eredmény -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7 és x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (7x-21 és x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 7x^{2}.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -7x^{2}. Az eredmény -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 35x.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Összevonjuk a következőket: 9x és 35x. Az eredmény 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 42.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Kivonjuk a(z) 42 értékből a(z) -13 értéket. Az eredmény -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -8 értéket a-ba, a(z) 44 értéket b-be és a(z) -55 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 32 és -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1936 és -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -44 és 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44+4\sqrt{11} elosztása a következővel: -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}). ± előjele negatív. 4\sqrt{11} kivonása a következőből: -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44-4\sqrt{11} elosztása a következővel: -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 2,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-3,x-2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-3 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x^{2}-4x+3 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 4x. Az eredmény 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) -10 értéket. Az eredmény -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7 és x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (7x-21 és x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 7x^{2}.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -7x^{2}. Az eredmény -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 35x.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Összevonjuk a következőket: 9x és 35x. Az eredmény 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 13.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Összeadjuk a következőket: 42 és 13. Az eredmény 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

A(z) -8 értékkel való osztás eltünteti a(z) -8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

A törtet (\frac{44}{-8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

55 elosztása a következővel: -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

-\frac{55}{8} és \frac{121}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$