4/x+4/x-6=1 megoldása

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x=12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 0,6. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x-6 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x-6\right).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-6 és 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4x és x\times 4. Az eredmény 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 6x. Az eredmény 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx-24 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=12 b=2$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+14x-24) \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Kiemeljük a(z) -x tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-12=0 és -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 0,6. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x-6 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x-6\right).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-6 és 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4x és x\times 4. Az eredmény 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 6x. Az eredmény 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) -24 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±10}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 elosztása a következővel: -2.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±10}{-2}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-24 elosztása a következővel: -2.

$$x=12$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=12$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 0,6. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x-6 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x-6\right).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-6 és 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4x és x\times 4. Az eredmény 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 6x. Az eredmény 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 24. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$14x-x^{2}=24$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+14x=24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

14 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

24 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Elosztjuk a(z) -14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -7. Ezután hozzáadjuk -7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Összeadjuk a következőket: -24 és 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

A(z) x^{2}-14x+49 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$x=12 x=2$$