4/x+3+3/2x-1=1 megoldása

$$\frac { 4 } { x + 3 } + \frac { 3 } { 2 x - 1 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -3,\frac{1}{2}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+3,2x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(2x-1\right)\left(x+3\right).

$$\left(2x-1\right)\times 4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x-1 és 4.

$$8x-4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+3 és 3.

$$8x-4+3x+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 3x. Az eredmény 11x.

$$11x-4+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Összeadjuk a következőket: -4 és 9. Az eredmény 5.

$$11x+5=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-1 és x+3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$11x+5=2x^{2}+5x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$11x+5-2x^{2}=5x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x.

$$11x+5-2x^{2}-5x=-3$$

Összevonjuk a következőket: 11x és -5x. Az eredmény 6x.

$$6x+5-2x^{2}=-3$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3.

$$6x+5-2x^{2}+3=0$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 3. Az eredmény 8.

$$6x+8-2x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-2x^{2}+6x+8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+64}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 64.

$$x=\frac{-6±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-6±10}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{-6±10}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±10}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 10.

$$x=\frac{4}{-4}$$

4 elosztása a következővel: -4.

$$x=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±10}{-4}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: -6.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

-16 elosztása a következővel: -4.

$$x=4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1 x=4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -3,\frac{1}{2}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+3,2x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(2x-1\right)\left(x+3\right).

$$\left(2x-1\right)\times 4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x-1 és 4.

$$8x-4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+3 és 3.

$$8x-4+3x+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 3x. Az eredmény 11x.

$$11x-4+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Összeadjuk a következőket: -4 és 9. Az eredmény 5.

$$11x+5=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-1 és x+3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$11x+5=2x^{2}+5x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$11x+5-2x^{2}=5x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x.

$$11x+5-2x^{2}-5x=-3$$

Összevonjuk a következőket: 11x és -5x. Az eredmény 6x.

$$6x+5-2x^{2}=-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$6x-2x^{2}=-3-5$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) -3 értéket. Az eredmény -8.

$$6x-2x^{2}=-8$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-2x^{2}+6x=-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{8}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{8}{-2}$$

6 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{8}{-2}$$

-8 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-3x=4$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=4 x=-1$$