3x-8/x-2=5x-2/x+5 megoldása

$$\frac { 3 x - 8 } { x - 2 } = \frac { 5 x - 2 } { x + 5 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -5,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-2,x+5 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(x+5\right).

$$\left(x+5\right)\left(3x-8\right)=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x+5 és 3x-8), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}+7x-40=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-2 és 5x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}+7x-40=5x^{2}-12x+4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$3x^{2}+7x-40-5x^{2}=-12x+4$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és -5x^{2}. Az eredmény -2x^{2}.

$$-2x^{2}+7x-40=-12x+4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x.

$$-2x^{2}+7x-40+12x=4$$

Összevonjuk a következőket: 7x és 12x. Az eredmény 19x.

$$-2x^{2}+19x-40=4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4.

$$-2x^{2}+19x-40-4=0$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) -40 értéket. Az eredmény -44.

$$-2x^{2}+19x-44=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 19 értéket b-be és a(z) -44 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\left(-2\right)\left(-44\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\left(-2\right)\left(-44\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+8\left(-44\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és -44.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-352}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és -352.

$$x=\frac{-19±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$x=\frac{-19±3}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{-19±3}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-19±3}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -19 és 3.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

-16 elosztása a következővel: -4.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-19±3}{-4}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: -19.

$$x=-\frac{22}{-4}$$

A törtet (\frac{-22}{-4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{11}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=\frac{11}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -5,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-2,x+5 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(x+5\right).

$$\left(x+5\right)\left(3x-8\right)=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x+5 és 3x-8), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}+7x-40=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-2 és 5x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}+7x-40=5x^{2}-12x+4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$3x^{2}+7x-40-5x^{2}=-12x+4$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és -5x^{2}. Az eredmény -2x^{2}.

$$-2x^{2}+7x-40=-12x+4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x.

$$-2x^{2}+7x-40+12x=4$$

Összevonjuk a következőket: 7x és 12x. Az eredmény 19x.

$$-2x^{2}+19x-40=4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 40.

$$-2x^{2}+19x=4+40$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 40. Az eredmény 44.

$$-2x^{2}+19x=44$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}+19x}{-2}=\frac{44}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{19}{-2}x=\frac{44}{-2}$$

19 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{44}{-2}$$

44 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=-22$$

Elosztjuk a(z) -\frac{19}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=-22+\frac{361}{16}$$

Összeadjuk a következőket: -22 és \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{9}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{3}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{4}.

$$x=\frac{11}{2} x=4$$