3x/2+y=11;x+y/2=7 megoldása

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=6$$

$$y=2$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$3x+2y=22$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2x+y=14$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$3x+2y=22$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2y.

$$3x=-2y+22$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-2y+22}{3} értéket x helyére a másik, 2x+y=14 egyenletben.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{4y}{3} és y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{44}{3}.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -3.

$$y=2$$

A(z) x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{2}{3} és 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

\frac{22}{3} és -\frac{4}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=2$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$3x+2y=22$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2x+y=14$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=6,y=2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$3x+2y=22$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2x+y=14$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

3x és 2x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 2, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Egyszerűsítünk.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

6x+3y=42 kivonása a következőből: 6x+4y=44: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Összeadjuk a következőket: 6x és -6x. 6x és -6x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$4y-3y=44-42$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -3y.

$$y=44-42$$

Összeadjuk a következőket: 44 és -42.

$$y=2$$

A(z) 2x+y=14 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$2x+2=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$2x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=2$$