3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x megoldása

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1,774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0,225403331$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -3,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 9-x^{2},x+3,3-x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x+3\right).

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

3x+2 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-3 és 5x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Összeadjuk a következőket: -3 és 3. Az eredmény 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Összevonjuk a következőket: -14x és x. Az eredmény -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 13x.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Összevonjuk a következőket: -3x és 13x. Az eredmény 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -40.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 60.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

-10+2\sqrt{15} elosztása a következővel: -10.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{15} kivonása a következőből: -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

-10-2\sqrt{15} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -3,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 9-x^{2},x+3,3-x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x+3\right).

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

3x+2 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-3 és 5x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Összeadjuk a következőket: -3 és 3. Az eredmény 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Összevonjuk a következőket: -14x és x. Az eredmény -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 13x.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Összevonjuk a következőket: -3x és 13x. Az eredmény 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$10x-5x^{2}=2$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+10x=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

10 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

2 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

Elosztjuk a(z) -2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -1. Ezután hozzáadjuk -1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{2}{5} és 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

Tényezőkre x^{2}-2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$