3x+10/x-2[9x-4/3-3(x/2+7x-6/4)]=frac{7x+5}{2} megoldása

$$\frac { 3 x + 10 } { x } - 2 [ \frac { 9 x - 4 } { 3 } - 3 ( \frac { x } { 2 } + \frac { 7 x - 6 } { 4 } ) ] = \frac { 7 x + 5 } { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}\approx 0,729166667+1,402966846i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}\approx 0,729166667-1,402966846i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,3,2,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 12x.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 12 és 3x+10.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. 2 és 4 legkisebb közös többszöröse 4. Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{2} és \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Mivel \frac{2x}{4} és \frac{7x-6}{4} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Összevonjuk a kifejezésben (2x+7x-6) szereplő egynemű tagokat.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kifejezzük a hányadost (3\times \frac{9x-6}{4}) egyetlen törtként.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és 9x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. 3 és 4 legkisebb közös többszöröse 12. Összeszorozzuk a következőket: \frac{9x-4}{3} és \frac{4}{4}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{27x-18}{4} és \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Mivel \frac{4\left(9x-4\right)}{12} és \frac{3\left(27x-18\right)}{12} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Elvégezzük a képletben (4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)) szereplő szorzásokat.

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Összevonjuk a kifejezésben (36x-16-81x+54) szereplő egynemű tagokat.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12. Az eredmény 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

A legnagyobb közös osztó (12) kiejtése itt: 24 és 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6x és 7x+5.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 42x^{2}.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30x.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -2 és -45x+38.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 90x-76 és x.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

Összevonjuk a következőket: 36x és -76x. Az eredmény -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

Összevonjuk a következőket: 90x^{2} és -42x^{2}. Az eredmény 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

Összevonjuk a következőket: -40x és -30x. Az eredmény -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$48x^{2}-70x+120=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 48 értéket a-ba, a(z) -70 értéket b-be és a(z) 120 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -70.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 48.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-192\times 120}}{2\times 48}$$

Összeszorozzuk a következőket: -192 és 120.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-23040}}{2\times 48}$$

Összeadjuk a következőket: 4900 és -23040.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{-18140}}{2\times 48}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -18140.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

-70 ellentettje 70.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 48.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 70 és 2i\sqrt{4535}.

$$x=\frac{70+2\sqrt{4535}i}{96}$$

70+2i\sqrt{4535} elosztása a következővel: 96.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{4535} kivonása a következőből: 70.

$$x=\frac{-2\sqrt{4535}i+70}{96}$$

70-2i\sqrt{4535} elosztása a következővel: 96.

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,3,2,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 12x.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 12 és 3x+10.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. 2 és 4 legkisebb közös többszöröse 4. Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{2} és \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Mivel \frac{2x}{4} és \frac{7x-6}{4} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Összevonjuk a kifejezésben (2x+7x-6) szereplő egynemű tagokat.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kifejezzük a hányadost (3\times \frac{9x-6}{4}) egyetlen törtként.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és 9x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. 3 és 4 legkisebb közös többszöröse 12. Összeszorozzuk a következőket: \frac{9x-4}{3} és \frac{4}{4}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{27x-18}{4} és \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Mivel \frac{4\left(9x-4\right)}{12} és \frac{3\left(27x-18\right)}{12} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Elvégezzük a képletben (4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)) szereplő szorzásokat.

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Összevonjuk a kifejezésben (36x-16-81x+54) szereplő egynemű tagokat.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12. Az eredmény 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

A legnagyobb közös osztó (12) kiejtése itt: 24 és 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6x és 7x+5.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 42x^{2}.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30x.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -2 és -45x+38.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 90x-76 és x.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

Összevonjuk a következőket: 36x és -76x. Az eredmény -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

Összevonjuk a következőket: 90x^{2} és -42x^{2}. Az eredmény 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

Összevonjuk a következőket: -40x és -30x. Az eredmény -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 120. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-70x+48x^{2}=-120$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$48x^{2}-70x=-120$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 48.

$$\frac{48x^{2}-70x}{48}=-\frac{120}{48}$$

A(z) 48 értékkel való osztás eltünteti a(z) 48 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{48}\right)x=-\frac{120}{48}$$

A törtet (\frac{-70}{48}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{120}{48}$$

A törtet (\frac{-120}{48}) leegyszerűsítjük 24 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{35}{24} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{35}{48}. Ezután hozzáadjuk -\frac{35}{48} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{35}{48} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{5}{2}+\frac{1225}{2304}$$

-\frac{5}{2} és \frac{1225}{2304} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{4535}{2304}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{4535}{2304}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4535}{2304}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{35}{48}=\frac{\sqrt{4535}i}{48} x-\frac{35}{48}=-\frac{\sqrt{4535}i}{48}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{35}{48}.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$