3-x/3x-1-x-1/x-2=-2 megoldása

$$\frac { 3 - x } { 3 x - 1 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = - 2$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: \frac{1}{3},2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3x-1,x-2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(3x-1\right).

$$\left(x-2\right)\left(3-x\right)-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-2 és 3-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-1 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x^{2}-4x+1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

3x^{2}-4x+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$5x-x^{2}-6-3x^{2}+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -3x^{2}. Az eredmény -4x^{2}.

$$5x-4x^{2}-6+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 4x. Az eredmény 9x.

$$9x-4x^{2}-6-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -6 értéket. Az eredmény -7.

$$9x-4x^{2}-7=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -2 és x-2.

$$9x-4x^{2}-7=\left(-2x+4\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-2x+4 és 3x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$9x-4x^{2}-7=-6x^{2}+14x-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x^{2}.

$$9x-4x^{2}-7+6x^{2}=14x-4$$

Összevonjuk a következőket: -4x^{2} és 6x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$9x+2x^{2}-7=14x-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$9x+2x^{2}-7-14x=-4$$

Összevonjuk a következőket: 9x és -14x. Az eredmény -5x.

$$-5x+2x^{2}-7=-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$-5x+2x^{2}-7+4=0$$

Összeadjuk a következőket: -7 és 4. Az eredmény -3.

$$-5x+2x^{2}-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±7}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 7.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 elosztása a következővel: 4.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±7}{4}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

A törtet (\frac{-2}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: \frac{1}{3},2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3x-1,x-2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(3x-1\right).

$$\left(x-2\right)\left(3-x\right)-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-2 és 3-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-1 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x^{2}-4x+1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

3x^{2}-4x+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$5x-x^{2}-6-3x^{2}+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -3x^{2}. Az eredmény -4x^{2}.

$$5x-4x^{2}-6+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 4x. Az eredmény 9x.

$$9x-4x^{2}-6-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -6 értéket. Az eredmény -7.

$$9x-4x^{2}-7=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -2 és x-2.

$$9x-4x^{2}-7=\left(-2x+4\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-2x+4 és 3x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$9x-4x^{2}-7=-6x^{2}+14x-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x^{2}.

$$9x-4x^{2}-7+6x^{2}=14x-4$$

Összevonjuk a következőket: -4x^{2} és 6x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$9x+2x^{2}-7=14x-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$9x+2x^{2}-7-14x=-4$$

Összevonjuk a következőket: 9x és -14x. Az eredmény -5x.

$$-5x+2x^{2}-7=-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$-5x+2x^{2}=-4+7$$

Összeadjuk a következőket: -4 és 7. Az eredmény 3.

$$-5x+2x^{2}=3$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-5x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

\frac{3}{2} és \frac{25}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

A(z) x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$