3/x-2-10/x+2=1 megoldása

$$\frac { 3 } { x - 2 } - \frac { 10 } { x + 2 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-10$$

$$x=3$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-2,x+2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+2 és 3.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és 10.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

10x-20 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Összevonjuk a következőket: 3x és -10x. Az eredmény -7x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Összeadjuk a következőket: 6 és 20. Az eredmény 26.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Vegyük a következőt: \left(x-2\right)\left(x+2\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$-7x+26-x^{2}+4=0$$

Összeadjuk a következőket: 26 és 4. Az eredmény 30.

$$-7x+30-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}-7x+30=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) 30 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\left(-1\right)}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±13}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{7±13}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±13}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 13.

$$x=\frac{20}{-2}$$

20 elosztása a következővel: -2.

$$x=-10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±13}{-2}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-6 elosztása a következővel: -2.

$$x=3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-10 x=3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-2,x+2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+2 és 3.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és 10.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

10x-20 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Összevonjuk a következőket: 3x és -10x. Az eredmény -7x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Összeadjuk a következőket: 6 és 20. Az eredmény 26.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Vegyük a következőt: \left(x-2\right)\left(x+2\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 26.

$$-7x-x^{2}=-4-26$$

Kivonjuk a(z) 26 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -30.

$$-7x-x^{2}=-30$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}-7x=-30$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}-7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)x=-\frac{30}{-1}$$

-7 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+7x=-\frac{30}{-1}$$

-30 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+7x=30$$

Elosztjuk a(z) 7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 30 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=3 x=-10$$