220/x-10-160/x=5 megoldása

$$\frac { 220 } { x - 10 } - \frac { 160 } { x } = 5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-10$$

$$x=32$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 0,10. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-10,x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x-10\right).

$$x\times 220-\left(x-10\right)\times 160=5x\left(x-10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-10 és 160.

$$x\times 220-\left(160x-1600\right)=5x\left(x-10\right)$$

160x-1600 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x\times 220-160x+1600=5x\left(x-10\right)$$

Összevonjuk a következőket: x\times 220 és -160x. Az eredmény 60x.

$$60x+1600=5x\left(x-10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x és x-10.

$$60x+1600=5x^{2}-50x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$60x+1600-5x^{2}=-50x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 50x.

$$60x+1600-5x^{2}+50x=0$$

Összevonjuk a következőket: 60x és 50x. Az eredmény 110x.

$$110x+1600-5x^{2}=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$22x+320-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}+22x+320=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+320 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=22 ab=-320=-320$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -320.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 22.

$$a=32 b=-10$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+22x+320) \left(-x^{2}+32x\right)+\left(-10x+320\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+32x\right)+\left(-10x+320\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -10 faktort.

$$-x\left(x-32\right)-10\left(x-32\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-32 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-32\right)\left(-x-10\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-32=0 és a -x-10=0.

$$x=32 x=-10$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 0,10. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-10,x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x-10\right).

$$x\times 220-\left(x-10\right)\times 160=5x\left(x-10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-10 és 160.

$$x\times 220-\left(160x-1600\right)=5x\left(x-10\right)$$

160x-1600 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x\times 220-160x+1600=5x\left(x-10\right)$$

Összevonjuk a következőket: x\times 220 és -160x. Az eredmény 60x.

$$60x+1600=5x\left(x-10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x és x-10.

$$60x+1600=5x^{2}-50x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$60x+1600-5x^{2}=-50x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 50x.

$$60x+1600-5x^{2}+50x=0$$

Összevonjuk a következőket: 60x és 50x. Az eredmény 110x.

$$110x+1600-5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+110x+1600=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 110 értéket b-be és a(z) 1600 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\left(-5\right)\times 1600}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 110.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\left(-5\right)\times 1600}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100+20\times 1600}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és 1600.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100+32000}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 12100 és 32000.

$$x=\frac{-110±\sqrt{44100}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 44100.

$$x=\frac{-110±210}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-110±210}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-110±210}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -110 és 210.

$$x=\frac{100}{-10}$$

100 elosztása a következővel: -10.

$$x=-10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-110±210}{-10}). ± előjele negatív. 210 kivonása a következőből: -110.

$$x=-\frac{320}{-10}$$

-320 elosztása a következővel: -10.

$$x=32$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-10 x=32$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 0,10. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-10,x legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(x-10\right).

$$x\times 220-\left(x-10\right)\times 160=5x\left(x-10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-10 és 160.

$$x\times 220-\left(160x-1600\right)=5x\left(x-10\right)$$

160x-1600 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x\times 220-160x+1600=5x\left(x-10\right)$$

Összevonjuk a következőket: x\times 220 és -160x. Az eredmény 60x.

$$60x+1600=5x\left(x-10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x és x-10.

$$60x+1600=5x^{2}-50x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$60x+1600-5x^{2}=-50x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 50x.

$$60x+1600-5x^{2}+50x=0$$

Összevonjuk a következőket: 60x és 50x. Az eredmény 110x.

$$110x+1600-5x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1600. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$110x-5x^{2}=-1600$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+110x=-1600$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+110x}{-5}=-\frac{1600}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{110}{-5}x=-\frac{1600}{-5}$$

110 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-22x=-\frac{1600}{-5}$$

-1600 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-22x=320$$

Elosztjuk a(z) -22 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -11. Ezután hozzáadjuk -11 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=320+\left(-11\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x^{2}-22x+121=320+121$$

Összeadjuk a következőket: 320 és 121.

$$x^{2}-22x+121=441$$

Tényezőkre x^{2}-22x+121. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-11\right)^{2}=441$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{441}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-11=21 x-11=-21$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 11.

$$x=32 x=-10$$