2x/x^2-100=2/15 megoldása

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=20$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -10,10. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2}-100,15 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 15\left(x-10\right)\left(x+10\right).

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 15 és 2. Az eredmény 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-20 és x+10), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$30x=2x^{2}-200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 200.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$15x-x^{2}+100=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+100 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -100.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 15.

$$a=20 b=-5$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+15x+100) \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

Kiemeljük a(z) -x tényezőt az első, a(z) -5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-20 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-20=0 és -x-5=0.

$$x=20 x=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -10,10. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2}-100,15 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 15\left(x-10\right)\left(x+10\right).

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 15 és 2. Az eredmény 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-20 és x+10), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$30x=2x^{2}-200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 200.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 30 értéket b-be és a(z) 200 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és 200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és 1600.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2500.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±50}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -30 és 50.

$$x=\frac{20}{-4}$$

20 elosztása a következővel: -4.

$$x=-5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±50}{-4}). ± előjele negatív. 50 kivonása a következőből: -30.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

-80 elosztása a következővel: -4.

$$x=20$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-5 x=20$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -10,10. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2}-100,15 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 15\left(x-10\right)\left(x+10\right).

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 15 és 2. Az eredmény 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-20 és x+10), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$30x=2x^{2}-200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

30 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

-200 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-15x=100$$

Elosztjuk a(z) -15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

A(z) x^{2}-15x+\frac{225}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{2}.

$$x=20 x=-5$$