2r/r^2-1-1/r+1 megoldása

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

Kiértékelés

$$\frac{1}{r-1}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) r^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(r-1\right)\left(r+1\right) és r+1 legkisebb közös többszöröse \left(r-1\right)\left(r+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{r+1} és \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Mivel \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} és \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Elvégezzük a képletben (2r-\left(r-1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (2r-r+1) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: r+1.

$$\frac{1}{r-1}$$

Differenciálás r szerint

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Lépések a láncszabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) r^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(r-1\right)\left(r+1\right) és r+1 legkisebb közös többszöröse \left(r-1\right)\left(r+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{r+1} és \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Mivel \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} és \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Elvégezzük a képletben (2r-\left(r-1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (2r-r+1) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Ha az F függvény az f\left(u\right) és az u=g\left(x\right) differenciálható függvények kompozíciója, azaz F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), akkor F deriváltja az f függvény u szerinti deriváltjának és a g függvény x szerinti deriváltjának a szorzata, vagyis \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Egyszerűsítünk.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$