1500/x-1500/x+250=1/2 megoldása

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1000$$

$$x=750$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -250,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+250,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2x\left(x+250\right).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x+500 és 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 1500. Az eredmény 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 250x.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Összevonjuk a következőket: 3000x és -250x. Az eredmény 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 2750x és -3000x. Az eredmény -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+750000 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 250.

$$a=-750 b=1000$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}-250x+750000) \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right) alakban.

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 1000 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-750 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-750=0 és x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -250,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+250,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2x\left(x+250\right).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x+500 és 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 1500. Az eredmény 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 250x.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Összevonjuk a következőket: 3000x és -250x. Az eredmény 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 2750x és -3000x. Az eredmény -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -250 értéket b-be és a(z) 750000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -250.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 62500 és 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

-250 ellentettje 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{250±1750}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 250 és 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

2000 elosztása a következővel: -2.

$$x=-1000$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{250±1750}{-2}). ± előjele negatív. 1750 kivonása a következőből: 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

-1500 elosztása a következővel: -2.

$$x=750$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1000 x=750$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -250,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,x+250,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2x\left(x+250\right).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x+500 és 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 1500. Az eredmény 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 250x.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Összevonjuk a következőket: 3000x és -250x. Az eredmény 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 750000. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Összevonjuk a következőket: 2750x és -3000x. Az eredmény -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

-250 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

-750000 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Elosztjuk a(z) 250 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 125. Ezután hozzáadjuk 125 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 125.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Összeadjuk a következőket: 750000 és 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

A(z) x^{2}+250x+15625 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 125.

$$x=750 x=-1000$$