1/x-1-x/x+1-2=0 megoldása

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1,387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0,72075922$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -1,1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-1,x+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-1 és x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

x^{2}-x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: x és x. Az eredmény 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-1 és x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-1 és -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 2. Az eredmény 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

-2+2\sqrt{10} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{10} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

-2-2\sqrt{10} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -1,1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-1,x+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-1 és x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

x^{2}-x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: x és x. Az eredmény 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-1 és x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-1 és -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 2. Az eredmény 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$2x-3x^{2}=-3$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+2x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

2 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

-3 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$