1/x-1+1/x-4=5/4 megoldása

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 1,4. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-1,x-4,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4\left(x-4\right)\left(x-1\right).

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 4x. Az eredmény 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) -16 értéket. Az eredmény -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x-20 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 25x.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 25x. Az eredmény 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Kivonjuk a(z) 20 értékből a(z) -20 értéket. Az eredmény -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 33 értéket b-be és a(z) -40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1089 és -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-33±17}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -33 és 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

A törtet (\frac{-16}{-10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{8}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-33±17}{-10}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

-50 elosztása a következővel: -10.

$$x=5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 1,4. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-1,x-4,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4\left(x-4\right)\left(x-1\right).

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 4x. Az eredmény 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) -16 értéket. Az eredmény -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x-20 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 25x.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 25x. Az eredmény 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 20.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Összeadjuk a következőket: 20 és 20. Az eredmény 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

33 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

40 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Elosztjuk a(z) -\frac{33}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{33}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{33}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{33}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Összeadjuk a következőket: -8 és \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{33}{10}.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$