1/x+40+1/x=1/48 megoldása

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-24$$

$$x=80$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -40,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+40,x,48 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 48x\left(x+40\right).

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Összevonjuk a következőket: 48x és 48x. Az eredmény 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40x.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Összevonjuk a következőket: 96x és -40x. Az eredmény 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+1920 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 56.

$$a=80 b=-24$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+56x+1920) \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -24 faktort.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-80 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-80=0 és a -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -40,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+40,x,48 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 48x\left(x+40\right).

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Összevonjuk a következőket: 48x és 48x. Az eredmény 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40x.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Összevonjuk a következőket: 96x és -40x. Az eredmény 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 56 értéket b-be és a(z) 1920 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 56.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 3136 és 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-56±104}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -56 és 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

48 elosztása a következővel: -2.

$$x=-24$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-56±104}{-2}). ± előjele negatív. 104 kivonása a következőből: -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

-160 elosztása a következővel: -2.

$$x=80$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-24 x=80$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -40,0. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+40,x,48 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 48x\left(x+40\right).

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Összevonjuk a következőket: 48x és 48x. Az eredmény 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40x.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Összevonjuk a következőket: 96x és -40x. Az eredmény 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1920. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

56 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

-1920 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Elosztjuk a(z) -56 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -28. Ezután hozzáadjuk -28 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -28.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Összeadjuk a következőket: 1920 és 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Tényezőkre x^{2}-56x+784. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 28.

$$x=80 x=-24$$