1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1) megoldása

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -1,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right) legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Összevonjuk a következőket: x és x. Az eredmény 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 3. Az eredmény 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

x^{2}-2x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Összevonjuk a következőket: 7x és 2x. Az eredmény 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9x.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 2x és -9x. Az eredmény -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 3\sqrt{5} kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -1,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right) legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Összevonjuk a következőket: x és x. Az eredmény 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 3. Az eredmény 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

x^{2}-2x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Összevonjuk a következőket: 7x és 2x. Az eredmény 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9x.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 2x és -9x. Az eredmény -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-7x=-1$$

Elosztjuk a(z) -7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

A(z) x^{2}-7x+\frac{49}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$