1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1 megoldása

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,\frac{1}{3}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3x-1 és 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 48x. Az eredmény 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 10 értéket. Az eredmény -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x+10 és 3x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15x^{2}.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 25x.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Összevonjuk a következőket: 53x és -25x. Az eredmény 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Összeadjuk a következőket: -6 és 10. Az eredmény 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -15x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 28.

$$a=30 b=-2$$

Átírjuk az értéket (-15x^{2}+28x+4) \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right) alakban.

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

A 15x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -x+2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a -x+2=0 és a 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,\frac{1}{3}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3x-1 és 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 48x. Az eredmény 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 10 értéket. Az eredmény -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x+10 és 3x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15x^{2}.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 25x.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Összevonjuk a következőket: 53x és -25x. Az eredmény 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Összeadjuk a következőket: -6 és 10. Az eredmény 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -15 értéket a-ba, a(z) 28 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 60 és 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±32}{-30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -28 és 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

A törtet (\frac{4}{-30}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±32}{-30}). ± előjele negatív. 32 kivonása a következőből: -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

-60 elosztása a következővel: -30.

$$x=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,\frac{1}{3}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3x-1 és 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 48x. Az eredmény 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 10 értéket. Az eredmény -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x+10 és 3x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15x^{2}.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 25x.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Összevonjuk a következőket: 53x és -25x. Az eredmény 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Összeadjuk a következőket: -10 és 6. Az eredmény -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

A(z) -15 értékkel való osztás eltünteti a(z) -15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

28 elosztása a következővel: -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

-4 elosztása a következővel: -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{28}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{14}{15}. Ezután hozzáadjuk -\frac{14}{15} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{14}{15} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

\frac{4}{15} és \frac{196}{225} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{14}{15}.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$