1/3x^2+6x=9 megoldása

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{1}{3} értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{4}{3} és -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

-6+4\sqrt{3} elosztása a következővel: \frac{2}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -6+4\sqrt{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{3} reciprokával.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}). ± előjele negatív. 4\sqrt{3} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

-6-4\sqrt{3} elosztása a következővel: \frac{2}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -6-4\sqrt{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{3} reciprokával.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

A(z) \frac{1}{3} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{1}{3} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

6 elosztása a következővel: \frac{1}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) 6 értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{3} reciprokával.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

9 elosztása a következővel: \frac{1}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) 9 értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{3} reciprokával.

$$x^{2}+18x=27$$

Elosztjuk a(z) 18 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 9. Ezután hozzáadjuk 9 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Összeadjuk a következőket: 27 és 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

A(z) x^{2}+18x+81 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$