1/3x^2+4/5x=1 megoldása

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{1}{3} értéket a-ba, a(z) \frac{4}{5} értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

A(z) \frac{4}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{4}{3} és -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

\frac{16}{25} és \frac{4}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -\frac{4}{5} és \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} elosztása a következővel: \frac{2}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{3} reciprokával.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}). ± előjele negatív. \frac{2\sqrt{111}}{15} kivonása a következőből: -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} elosztása a következővel: \frac{2}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{3} reciprokával.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

A(z) \frac{1}{3} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{1}{3} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{4}{5} elosztása a következővel: \frac{1}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{4}{5} értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{3} reciprokával.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

1 elosztása a következővel: \frac{1}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) 1 értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{3} reciprokával.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Elosztjuk a(z) \frac{12}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{6}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{6}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{6}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Összeadjuk a következőket: 3 és \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{6}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$