1/(x-3)=2x+1/x^2-4 megoldása

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,2,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-3,x^{2}-4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-3 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5x.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Összeadjuk a következőket: -4 és 3. Az eredmény -1.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

-5+\sqrt{21} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}). ± előjele negatív. \sqrt{21} kivonása a következőből: -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

-5-\sqrt{21} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,2,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-3,x^{2}-4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-3 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5x.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Összeadjuk a következőket: -3 és 4. Az eredmény 1.

$$-x^{2}+5x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

5 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

1 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$