[x-1]^2+3[x]-3<0 megoldása

$$[ x - 1 ] ^ { 2 } + 3 [ x ] - 3 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-2,1\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1+3x-3<0$$

Összevonjuk a következőket: -2x és 3x. Az eredmény x.

$$x^{2}+x+1-3<0$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -2.

$$x^{2}+x-2<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. Egy másodfokú polinom az ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) átalakítással bontható tényezőkre, ahol x_{1} és x_{2} a másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása.

$$x^{2}+x-2=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±3}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=1 x=-2$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-1 és x+2) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-1 eredménye pozitív, x+2 eredménye pedig negatív.

$$x-1>0 x+2<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+2 eredménye pozitív, x-1 eredménye pedig negatív.

$$x+2>0 x-1<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-2,1\right).

$$x\in \left(-2,1\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-2,1\right)$$