=20x^4+31x^2-9 megoldása

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Szorzattá alakítás

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 20 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=\frac{1}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 20x^{4}+31x^{2}-9 értéket a(z) 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 értékkel. Az eredmény 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 9 állandónak, és q osztója a(z) 10 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 értéket a(z) 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 értékkel. Az eredmény 5x^{2}+9. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$5x^{2}+9=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

A(z) 5x^{2}+9 polinom nincs tényezőkre bontva, mert nem rendelkezik racionális gyökökkel.

$$5x^{2}+9$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Kiértékelés

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$