=(3x-5)^2+32=0 megoldása

$$= ( 3 x - 5 ) ^ { 2 } + 32 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}\approx 1,666666667-1,885618083i$$

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3}\approx 1,666666667+1,885618083i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3x-5\right)^{2}).

$$9x^{2}-30x+25+32=0$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 32. Az eredmény 57.

$$9x^{2}-30x+57=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) 57 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 57}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 57}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 57}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 57.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-2052}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -2052.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-1152}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -1152.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±24\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 30 és 24i\sqrt{2}.

$$x=\frac{30+24\sqrt{2}i}{18}$$

30+24i\sqrt{2} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}). ± előjele negatív. 24i\sqrt{2} kivonása a következőből: 30.

$$x=\frac{-24\sqrt{2}i+30}{18}$$

30-24i\sqrt{2} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3x-5\right)^{2}).

$$9x^{2}-30x+25+32=0$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 32. Az eredmény 57.

$$9x^{2}-30x+57=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 57. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$9x^{2}-30x=-57$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{57}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{57}{9}$$

A törtet (\frac{-30}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{57}{9}$$

A törtet (\frac{-57}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{19}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{19}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{19}{3}+\frac{25}{9}$$

-\frac{19}{3} és \frac{25}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{32}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{4\sqrt{2}i}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{4\sqrt{2}i}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{3}.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$