פתור את z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

פתור עבור z

$$z=1$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -8 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$z=1$$

לפי משפט הגורמים , z-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎z^{3}+3z^{2}+4z-8 ב- ‎z-1 כדי לקבל ‎z^{2}+4z+8. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎4 ב- b ואת ‎8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$z\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$z=1$$