פתור את {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+2y=46$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-2y+46$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+23}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{4} ל- ‎3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

החסר ‎\frac{161}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{27}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{27}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎\frac{27}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

הוסף את ‎\frac{23}{4} ל- ‎-\frac{27}{20} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{22}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

פשט.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

החסר את ‎56x+24y=376 מ- ‎56x+14y=322 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

הוסף את ‎56x ל- ‎-56x. האיברים ‎56x ו- ‎-56x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$14y-24y=322-376$$

הוסף את ‎14y ל- ‎-24y.

$$-10y=322-376$$

הוסף את ‎322 ל- ‎-376.

$$-10y=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=\frac{27}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{27}{5} במקום y ב- ‎7x+3y=47. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

החסר ‎\frac{81}{5} משני אגפי המשוואה.

$$7x=\frac{154}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{22}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$