פתור את z^2-20z=-100

$$z ^ { 2 } - 20 z = - 100$$

פתור עבור z

$$z=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

הוסף ‎100 משני הצדדים.

$$z^{2}-20z+100=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את z^{2}-20z+100 לגורמים באמצעות הנוסחה z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-20 ab=100$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -20.

$$a=-10 b=-10$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(z+a\right)\left(z+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(z-10\right)\left(z-10\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(z-10\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את z-10=0.

$$z=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

הוסף ‎100 משני הצדדים.

$$z^{2}-20z+100=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- z^{2}+az+bz+100. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-20 ab=1\times 100=100$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -20.

$$a=-10 b=-10$$

שכתב את ‎z^{2}-20z+100 כ- ‎\left(z^{2}-10z\right)+\left(-10z+100\right).

$$\left(z^{2}-10z\right)+\left(-10z+100\right)$$

הוצא את הגורם המשותף z בקבוצה הראשונה ואת -10 בקבוצה השניה.

$$z\left(z-10\right)-10\left(z-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף z-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(z-10\right)\left(z-10\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(z-10\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את z-10=0.

$$z=10$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z^{2}-20z=-100$$

הוסף ‎100 לשני אגפי המשוואה.

$$z^{2}-20z-\left(-100\right)=-100-\left(-100\right)$$

החסרת -100 מעצמו נותנת 0.

$$z^{2}-20z-\left(-100\right)=0$$

החסר ‎-100 מ- ‎0.

$$z^{2}-20z+100=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -20 במקום b, וב- 100 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

‎-20 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 100}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎100.

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-400.

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$z=-\frac{-20}{2}$$

ההופכי של ‎-20 הוא ‎20.

$$z=\frac{20}{2}$$

חלק את ‎20 ב- ‎2.

$$z=10$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-20z=-100$$

חלק את ‎-20, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-10. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -10 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$z^{2}-20z+\left(-10\right)^{2}=-100+\left(-10\right)^{2}$$

‎-10 בריבוע.

$$z^{2}-20z+100=-100+100$$

הוסף את ‎-100 ל- ‎100.

$$z^{2}-20z+100=0$$

פרק z^{2}-20z+100 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-10\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(z-10\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$z-10=0 z-10=0$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$z=10 z=10$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$z=10$$