פתור את y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

פתור עבור y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-3x=2$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$y=3x+2$$

השתמש ב- ‎3x+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎7x.

$$x-4=8$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$x=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום x ב- ‎y=3x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=3\times 12+2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎12.

$$y=36+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎36.

$$y=38$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=38,x=12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=38,x=12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎-2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

פשט.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

החסר את ‎-2y+7x=8 מ- ‎-2y+6x=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎2y. האיברים ‎-2y ו- ‎2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6x-7x=-4-8$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-7x.

$$-x=-4-8$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎-8.

$$-x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום x ב- ‎-2y+7x=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2y+7\times 12=8$$

הכפל את ‎7 ב- ‎12.

$$-2y+84=8$$

החסר ‎84 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=38$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=38,x=12$$