פתור את y=3x,x-y=2

$$y = 3 x , x - y = 2$$

פתור עבור y, x

$$x=-1$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-3x=0,-y+x=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-3x=0$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$y=3x$$

השתמש ב- ‎3x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-y+x=2.

$$-3x+x=2$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎x.

$$-2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎y=3x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=3\left(-1\right)$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-1.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-3x=0,-y+x=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-3,x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-3x=0,-y+x=2$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎-y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-y-\left(-3x\right)=0,-y+x=2$$

פשט.

$$-y+3x=0,-y+x=2$$

החסר את ‎-y+x=2 מ- ‎-y+3x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-y+y+3x-x=-2$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-x=-2$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-x.

$$2x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎-y+x=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-y-1=2$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=-1$$