פתור את y=3x+3text{en}y=x-2

$$y = 3 x + 3 \text { en } y = x - 2$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-3x=3,y-x=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-3x=3$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$y=3x+3$$

השתמש ב- ‎3+3x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-x=-2.

$$3x+3-x=-2$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-x.

$$2x+3=-2$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום x ב- ‎y=3x+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=3\left(-\frac{5}{2}\right)+3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$y=-\frac{15}{2}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-\frac{15}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-3x=3,y-x=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 3+\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-3x=3,y-x=-2$$

החסר את ‎y-x=-2 מ- ‎y-3x=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-3x+x=3+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3x+x=3+2$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎x.

$$-2x=3+2$$

הוסף את ‎3 ל- ‎2.

$$-2x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום x ב- ‎y-x=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\left(-\frac{5}{2}\right)=-2$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$y+\frac{5}{2}=-2$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{9}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$