פתור את y=2x-3text{and}5x+2y=30

$$y = 2 x - 3 \text { and } 5 x + 2 y = 30$$

פתור עבור y, x

$$x=4$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=-3$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x-3$$

השתמש ב- ‎2x-3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+5x=30.

$$2\left(2x-3\right)+5x=30$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2x-3.

$$4x-6+5x=30$$

הוסף את ‎4x ל- ‎5x.

$$9x-6=30$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$9x=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎y=2x-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2\times 4-3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=8-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎8.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=5,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+5x=30$$

פשט.

$$2y-4x=-6,2y+5x=30$$

החסר את ‎2y+5x=30 מ- ‎2y-4x=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-4x-5x=-6-30$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4x-5x=-6-30$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎-5x.

$$-9x=-6-30$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-30.

$$-9x=-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎2y+5x=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+5\times 4=30$$

הכפל את ‎5 ב- ‎4.

$$2y+20=30$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$2y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=4$$