פתור את y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

פתור עבור y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

הוסף ‎\frac{4x}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-28+4x}{3} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

הוסף את ‎\frac{4x}{3} ל- ‎-2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

הוסף ‎\frac{28}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-26$$

השתמש ב- ‎-26 במקום x ב- ‎y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4}{3} ב- ‎-26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{28}{3} ל- ‎-\frac{104}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-44$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-44,x=-26$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-44,x=-26$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

החסר את ‎y-2x=8 מ- ‎y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

הוסף את ‎-\frac{4x}{3} ל- ‎2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

הוסף את ‎-\frac{28}{3} ל- ‎-8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-26$$

השתמש ב- ‎-26 במקום x ב- ‎y-2x=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-26.

$$y+52=8$$

החסר ‎52 משני אגפי המשוואה.

$$y=-44$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-44,x=-26$$