פתור את y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

פתור עבור y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$y+3x=60$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

הוסף ‎\frac{x}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{1}{3}x$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{3} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

הוסף את ‎\frac{x}{3} ל- ‎3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=18$$

השתמש ב- ‎18 במקום x ב- ‎y=\frac{1}{3}x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎18.

$$y=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=6,x=18$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$y+3x=60$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=6,x=18$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$y+3x=60$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

החסר את ‎y+3x=60 מ- ‎y-\frac{1}{3}x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

הוסף את ‎-\frac{x}{3} ל- ‎-3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=18$$

השתמש ב- ‎18 במקום x ב- ‎y+3x=60. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+3\times 18=60$$

הכפל את ‎3 ב- ‎18.

$$y+54=60$$

החסר ‎54 משני אגפי המשוואה.

$$y=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=6,x=18$$