פתור את x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3.886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0.386000936$$

שלבי פתרון

שקול את \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎3 בריבוע.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

פיתוח ‎\left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

החסר ‎\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} משני האגפים.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

פרק את 4x^{2}-16x+15 לגורמים.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. הכפל את ‎x ב- ‎\frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

מכיוון ש- \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} ו- \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

כינוס איברים דומים ב- 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים \frac{3}{2},\frac{5}{2} מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎\left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{3}{2}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{3}-20x^{2}+15x+9 ב- ‎2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 כדי לקבל ‎2x^{2}-7x-3. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎-7 ב- b ואת ‎-3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

פתור את המשוואה ‎2x^{2}-7x-3=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

הסר את הערכים שהמשתנה אינו יכול להיות שווה להם.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎\frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$