פתור את x^6-35x^4+259x^2-225

$$x ^ { 6 } - 35 x ^ { 4 } + 259 x ^ { 2 } - 225$$

פרק לגורמים

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{6}-35x^{4}+259x^{2}-225=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -225 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{6}-35x^{4}+259x^{2}-225 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{5}+x^{4}-34x^{3}-34x^{2}+225x+225. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{5}+x^{4}-34x^{3}-34x^{2}+225x+225=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 225 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{5}+x^{4}-34x^{3}-34x^{2}+225x+225 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{4}-34x^{2}+225. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{4}-34x^{2}+225=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 225 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-34x^{2}+225 ב- ‎x-3 כדי לקבל ‎x^{3}+3x^{2}-25x-75. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{3}+3x^{2}-25x-75=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -75 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±75,±25,±15,±5,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+3x^{2}-25x-75 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎x^{2}-25. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}-25=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎-25 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-25=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-5 x=5$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$x^{6}-35x^{4}+259x^{2}-225$$