פתור את x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 4 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}-4x^{2}+6x-4. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -4 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-4x^{2}+6x-4 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}-2x+2. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎2 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-2x+2=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=1-i x=1+i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

פתור עבור x

$$x=1$$

$$x=2$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 4 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}-4x^{2}+6x-4. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -4 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-4x^{2}+6x-4 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}-2x+2. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎2 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=2$$