פתור את x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

פתור עבור x

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 84 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{3}-2x^{2}-29x-42. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -42 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-2x^{2}-29x-42 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}-4x-21. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-4 ב- b ואת ‎-21 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-4x-21=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-3 x=7$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$