פתור את x^4-3x^3-x^2-3x+18=0

$$x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 3 x + 18 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=2$$

$$x=3$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1.414213562i$$

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1.414213562i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 18 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{3}-x^{2}-3x-9. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-x^{2}-3x-9 ב- ‎x-3 כדי לקבל ‎x^{2}+2x+3. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+2x+3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎2 ב- b ואת ‎3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+2x+3=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2 x=3 x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

פתור עבור x

$$x=2$$

$$x=3$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 18 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{3}-x^{2}-3x-9. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-x^{2}-3x-9 ב- ‎x-3 כדי לקבל ‎x^{2}+2x+3. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+2x+3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎2 ב- b ואת ‎3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2 x=3$$