פתור את x^4-2x^2+1

$$x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{4}-2x^{2}+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-2x^{2}+1 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+x^{2}-x-1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{3}+x^{2}-x-1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}-x-1 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{2}+2x+1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}+2x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎2 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-2±0}{2}$$

הפתרונות זהים.

$$x=-1$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

הערך

$$\left(x^{2}-1\right)^{2}$$