פתור את x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1.414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1.414213562i$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

החסר ‎4x^{2} משני האגפים.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

הוסף ‎12x משני הצדדים.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

החסר ‎9 משני האגפים.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-4x^{2}+12x-9 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+x^{2}-3x+9. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}-3x+9 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎x^{2}-2x+3. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-2x+3=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

פתור עבור x

$$x=-3$$

$$x=1$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

החסר ‎4x^{2} משני האגפים.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

הוסף ‎12x משני הצדדים.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

החסר ‎9 משני האגפים.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-4x^{2}+12x-9 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+x^{2}-3x+9. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}-3x+9 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎x^{2}-2x+3. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-3$$