פתור את x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

פרק לגורמים

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 40 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. שורש אפשרי אחד הוא -5. פרק את הפולינום לגורמים על-ידי חלוקתו ב- x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

שקול את x^{3}+x^{2}-10x+8. לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 8 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. שורש אפשרי אחד הוא -4. פרק את הפולינום לגורמים על-ידי חלוקתו ב- x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

שקול את x^{2}-3x+2. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- x^{2}+ax+bx+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-2 b=-1$$

שכתב את ‎x^{2}-3x+2 כ- ‎\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$