פתור את x^3+2x^2-1=0

$$x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\approx -1.618033989$$

$$x=-1$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+2x^{2}-1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}+x-1. פתור את המשוואה שבה התוצאה שווה ל-0.

$$x^{2}+x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+x-1=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$